Логотип сайта поддержки пользователей САПРО сайте поддержки пользователей САПР Translate to:

Решение четырех тестовых задач для Назарова Д.И.

А.В. Торопцев, механико-математический факультет
Ульяновского Государственного Университета

    Предисловие автора: Эта статья является продолжением дискуссии о применимости метода конечных элементов к решению геометрически нелинейных задач механики. Для более полного представления, рекомендуется прочитать статьи:

В самом начале этой статьи хотелось бы ответить на некоторые вопросы, которые задает Назаров Д.И. в своей статье “Открытое письмо “СПЕЦИАЛИСТУ””. В своей работе я действительно использую программный пакет ANSYS5.5.3 с лицензией “High University”. Этой лицензией обладает Ульяновский Государственный Университет, который приобрел ее у фирмы CADFEM-Russia (г. Москва). Специально для Назарова Д.И. объясняю, что последняя цифра три в индексе ANSYS5.5.3 означает третье обновление (update). Базовой версией является ANSYS5.5. Решение четырех геометрически нелинейных задач, о которых говорится в заголовке, будет представлено ниже в этой статье. В своем открытом письме, Назаров Д.И. явно показал, что не увидел ошибки в моделировании задачи N 1 с помощью log-файла для системы ANSYS. Приведем этот log-файл, который был представлен в статье Назарова Д.И. “Современное состояние геометрически нелинейного конечно-элементного анализа” (Таблица 1).

Таблица 1 Log-файл для ANSYS представленный в статье Назарова Д.И.

!Example Log-file
/PREP7
ET,1,LINK1
R,1,0.01, , ! a=0.01
UIMP,1,EX, , ,1e5, ! Ea=1000
UIMP,2,EX, , ,2.5e5, ! Ea=2500
n,1 ,,,, ! create nodes n1(0,0,0)
n,2 ,-2,2,, !n2(-2,2,0)
n,3 ,-12,12,,!n ...
n,4 ,-12,,,
e,2,3,4 !create 1 link mat,2       (АВТОР: Ошибка !)
e,1,2,4 !create 2 link
/SOLU
FLST,2,1,1,ORDE,1
FITEM,2,3
D,1, , , , , ,ALL, , , , , ! constrained nodes
D,2, , , , , ,UY, , , , ,
D,3, , , , , ,UX, , , , ,
F,3,FY,-95 ! applied force
NLGEOM,1 !effects large deformation - on
TIME,1
AUTOTS,1 !automatic step - on
NSUBST,5,0.2,0.0001,1 !maxstep=0.2, minstep=0.0001
KBC,0 !loads is applied linear
SOLVE ! Run Solver
! enter to Postprocessor

По условию задачи левый стержень имеет жесткость EA=1000 (т.е. в log-файле: модуль Юнга E=100000, а площадь поперечного сечения A=0.01, откуда следует E*A=EA=1000) а правый стержень 2500. В тоже время мы можем видеть в log-файле (см. таблицу 1, пометку АВТОР: Ошибка!), что правый стержень создается с атрибутами совпадающими с атрибутами левого стержня (т.е. материал N 1, набор реальных констант N 1). Откуда следует, что log-файл представленный в таблице N 1 моделирует задачу деформирования разных по длине стержней, но с одинаковой жесткостью EA=1000. Результатом этого анализа явилось “неправильное левое положение стержней” у Назарова Д.И. (см. Рис. 1). Решение этой задачи автором этойстатьи, будет представлено ниже.


Рисунок 1 Деформированное состояние стержней, полученное Назаровым Д.И.

По второму вопросу Назарова Д.И. “Как можно вычислить точное значение жесткости, не зная точного значения предыдущего перемещения и не определив еще последующего перемещения?” можно ответить следующее: В алгоритме Ньютона-Рафсона текущее перемещение известно (в начальный момент времени оно равно нулю), для него строится матрица жесткости (касательная к графику) и затем из уравнения находится следующее перемещение. После этого производится проверка на сходимость, и при необходимости цикл повторяется. Кроме того, следует отметить, что в алгоритме Ньютона-Рафсона решения нелинейных систем большое значение играет выбор начальной точки. Ведь если нелинейная система имеет несколько решений, то от выбора начальной точки будет зависеть какое из этих решений мы получим.

Все это отражается на практике: если механическая система имеет, при данной нагрузке, несколько устойчивых состояний, то и от выбора первоначальной конфигурации будет зависеть какое из этих устойчивых положений мы получим в результате.

Следуем дальше по открытому письму Назарова Д.И.. Наверно для Назарова окажется новостью, что в математике существуют сплайны нулевой, первой, второй и т. д. степеней. Излагать в этой статье их математическую сущность и описание не хочется, однако отметим что сплайн нулевой степени – это константа (т. н. “ступенька”), сплайн первой степени – кусочно-линейная функция и т . д.

И отвечая на последний вопрос Назарова Д.И. о расчете модифицированной задачи Мизеса, объясняю Рис. 5 в моей статье “Желаемое и действительное в МКЭ” представляет собой по форме зависимость реакции в средней точке от её перемещения (т.к. перемещение прямо пропорционально времени). Или проводя аналогию с задачей Назарова о ‘кирпиче, резинке и ведре’ – это форма зависимости натяжения резинки от вертикально перемещения ведра.

Теперь рассмотрим вторую работу Назарова Д.И. “О “достоверности” расчетов методом конечных элементов, или летайте самолетами российского производства”. Мной была проведена попытка построить график зависимости Ry(x) от Dy=y(x)-yлв. Это параметрическая кривая от параметра (х) следующего вида:


(значения постоянных см. в статье Назарова Д.И.

где (x) – горизонтальная проекция правого элемента,
y(x) – вертикальная проекция левого элемента.
Ry(x) – вертикальная реакция левого элемента
В начальном положении x=2. В крайне правом положении среднего узла вертикальная проекция левого стержня равна 0. Из уравнения у(x)=0 можно численно найти приблизительное значение (x). Оно равно x= -2.02352.
Именно в диапазоне (2, -2.02352) применимы представленные выше формулы. График зависимости Ry(x) от Dy=yлв-y(x) показан на Рис. 2 (он был создан в системе математических расчетов Mathematica 2).


Рисунок 2 График зависимости вертикальной реакции левого элемента от Dy(x)

Остальная часть кривой может быть получена обратным зеркальным отражением относительно т. А. Следует отметить что абсцисса т. A равна 10 (xA=10=Yлв), а не Yпр=2 как на рисунке 2 у Назарова Д.И. Это графическое отображение аналитической зависимости Ry(x) от Dy=yлв-y(x), позволяет заявить что: решение полученное Назаровым Д.И. полностью совпадает с численным решением представленным в статье “Об использовании метода конечных элементов при решении геометрически нелинейных задач” (авторы - А.Н. Данилин, Н.Н. Зуев, Д.В. Снеговский, В. И. Шалашилин).

В заключении Назаров Д.И. делает попытку подсчета времени вычислений для задачи с 300 степенями свободы. Мой личный опыт показывает, что для решения нелинейной задачи такого объема необходимо не более часа. Вызывает только удивление, как Назаров Д.И. получил время для решения системы с рангом 300 равно 26 годам. Видимо для нас это останется тайной навсегда.

Теперь рассмотрим 4 тестовые задачи Назарова Д.И.. Их анализ производился в системе ANSYS\5.5.3 High University.

Задача N 1

Постановка задачи показа на Рис. 3 (заранее прошу извинить Назарова Д.И., что рисунки взяты из его статей).


Рисунок 3 Постановка задачи N 1

Log-файл моделирующий эту задачу приведен в Таб. 2.

Таблица 2 Log-файл ANSYS для задачи N 1

/FILNAM,case1 
KEYW,PR_SET,1 
KEYW,PR_STRUC,1 
/PREP7 
ET,1,LINK1 
R,1,0.01, ,
UIMP,1,EX, , ,1e5, 
UIMP,2,EX, , ,2e5, 
N,1,0,0,0,,,, 
N,2,10,-10,0,,,,
N,3,12,-12,0,,,,
E,1,2
MAT, 2
E,2,3
FINISH 
/SOLU 
ANTYPE,0
NLGEOM,1
NROPT,AUTO, , 
D,3, ,0, , , ,ALL
D,2, ,0, , , ,UY
D,1, ,0, , , ,UX
F,1,FY,-95 
TIME,1 
AUTOTS,-1 
NSUBST,5,7,2,1 
KBC,0 
SAVE
SOLVE
/POST1 
SET,LAST
PLDISP,1
FINISH 

    Как можно видеть в нем для создания правого элемента используется материал с модулем Юнга 2e5. В конце командный файл выводит картину деформированного состояния показанную на Рис. 4. (черным цветом – конфигурация до деформации, другие цвета и цифры обозначают разные материалы и показывают деформацию стержней, красными стрелками показаны приложенные узловые силы, а голубыми треугольниками – закрепления узлов).


Рисунок 4 Деформированное состояние конструкции для задачи N 1

Задача N 2


Рисунок 5 Постановка задачи N 2

Таблица 3: Log-файл ANSYS для задачи N 2

/FILNAM,case2 
KEYW,PR_SET,1
KEYW,PR_STRUC,1 
/PREP7 
ET,1,LINK1 
R,1,0.01, ,
UIMP,1,EX, , ,1e8, 
UIMP,2,EX, , ,1e5, 
N,1,0,0,0,,,, 
N,2,0,-10,0,,,, 
N,3,-10,-10,0,,,, 
N,4,9,-10,0,,,,
E,1,3
E,1,4
MAT,2
E,1,2
FINISH 
/SOLU 
ANTYPE,0
NLGEOM,1
NROPT,FULL, ,
D,4, ,0, , , ,ALL
D,2, ,0, , , ,UY
D,3, ,0, , , ,UY
F,3,FX,80 
TIME,1 
AUTOTS,-1
NSUBST,20,25,1 
KBC,0
SAVE
SOLVE
/POST1 
/PNUM,NODE,1
/PBC,ALL, ,1
SET,LAST
PLDISP,1
FINISH

Результат анализа представлен на Рис. 6. Сразу предвижу возражения Назарова Д.И. о том, что это положение не соответствует его комментариям. Да, не соответствует. Однако конструкция в силу своих особенностей имеет несколько устойчивых положений для данных условий нагружения. И полученный результат – только одно из них (т.е. реакция правой неподвижной опоры равна приложенной силе). Впрочем, не отрицается и существование других устойчивых положений (как например то, которое предложил Назаров Д.И.). Но для их получения необходим дополнительный анализ и возможно изменение начальных условий.


Рисунок 6 Деформированное состояние конструкции для задачи N 2

Задача N 3


Рисунок 7 Постановка задачи N 3

Таблица 4: Log-файл ANSYS для задачи N 3

/FILNAM,case3 
KEYW,PR_SET,1 
KEYW,PR_STRUC,1 
/PREP7 
ET,1,LINK1 
R,1,0.01, ,
UIMP,1,EX, , ,1e5, 
N,1,0,0,0,,,, 
N,2,10,10,0,,,,
N,3,13.5,13.5,0,,,,
N,4,17,10,0,,,,
N,5,20,0,0,,,,
E,1,2
E,2,3
E,3,4
E,2,5
FINISH 
/SOLU 
ANTYPE,0
NLGEOM,1
NROPT,AUTO, , 
D,1, ,0, , , ,ALL
D,4, ,0, , , ,ALL
D,5, ,0, , , ,ALL
F,2,FY,-190
TIME,1 
AUTOTS,1 
NSUBST,5,7,2
KBC,0 
SAVE
SOLVE
/POST1 
SET,LAST
PLDISP,1
FINISH 


Рисунок 8 Деформированное состояние конструкции для задачи N 3

Задача N 4


Рисунок 9 Постановка задачи N 3

Таблица 5: Log-файл ANSYS для задачи N 4

/FILNAM,case4 
KEYW,PR_SET,1 
KEYW,PR_STRUC,1 
/PREP7 
ET,1,LINK1 
R,1,0.01, ,
UIMP,1,EX, , ,1e8 
UIMP,2,EX, , ,1e5
N,1,0,0,0,,,, 
N,2,10,10,0,,,,
N,3,20,0,0,,,,
N,4,10,-9.5,0,,,,
E,1,2
E,2,3
E,3,4
E,4,1
MAT, 2
E,1,3
FINISH 
/SOLU 
ANTYPE,0
NLGEOM,1
NROPT,AUTO, , 
D,1, ,0, , , ,ALL
D,3, ,0, , , ,UY
F,2,FY,-300 
TIME,1 
AUTOTS,-1 
NSUBST,7,10,2
KBC,0 
SAVE
SOLVE
/POST1 
SET,LAST
PLDISP,1
FINISH 

Результат анализа представлен на Рис. 10. Решение этой задачи не оправдывает комментарием Назарова Д.И., что в FEA-анализе обязательно произойдет скачок узла с приложенной силой.


Рисунок 10 Деформированное состояние конструкции для задачи N 4

В заключении, хотелось бы сказать несколько слов о развернувшейся дискуссии. После изучения всех работ Назарова Д.И. у автора этой статьи сложилось впечатление о не компетентности к. т. н. Назарова Д.И. в вопросах об использовании метода конечных элементов. Назаров Д.И. не понимая основ метода конечных элементов делает отчаянные попытки дискредитировать его. Автор отнюдь не утверждает, что метод конечных элементов идеален. Но столь безграмотные суждения о применимости МКЭ недопустимы. Автор почти уверен, что Назаров Д.И. опровергнет все полученные результаты и перевернет всё с ног на голову. Но как говорится – время нас рассудит …



Copyright © Сайт поддержки пользователей САПР by Victor Tkachenko