Логотип сайта поддержки пользователей САПРО сайте поддержки пользователей САПР Translate to:

ЖЕЛАЕМОЕ И ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ В МЕТОДЕ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Торопцев А.В., механико-математический факультет
Ульяновского Государственного Университета.


В настоящее время все большее распространение на производстве получают системы использующий конечно-элементный анализ (FEA) для моделирования сложных физических задач. Как и всякий другой, метод конечных элементов имеет свои достоинства и недостатки. Но несомненно, что его развитие и использование в научных и производственных целях дает огромный экономический эффект. Область применения этого метода весьма обширна и постоянно расширяется, давая при этом точные результаты. Это развитие стало возможным благодаря развитию компьютерной техники и ее вычислительных способностей. Использование систем конечно-элементного анализа делает возможным исследование объектов без создания их материального прототипа, путем создания и решения адекватной математической модели. Что позволяет в несколько раз уменьшить период создания продукции, материальные расходы и оптимизировать конструкцию в соответствии с основными критериями. Однако, применение метода конечных элементов требует больших знаний о самом методе, опыта работы и инженерного таланта. Все это делает труд инженера-расчетчика достаточно дорогим, который при этом во много раз окупается.

Меня заинтересовали работы к.т.н. Назарова Д.И. "СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНОГО КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНОГО АНАЛИЗА" и "РУССКАЯ РУЛЕТКА или анализ основных ошибок теории геометрического нелинейного метода конечных элементов". В своих работах он пытается доказать несостоятельность применения метода конечных элементов в теории нелинейного анализа. Так как я считаю себя профессиональным инженером-расчетчиком в области МКЭ, меня сильно удивили позиции Назарова Д.И. В первой статье автор доказывает, существующие пакеты "тяжелого" типа, как например ANSYS, получают неправильный результат для плоской простейшей задачи с учетом геометрических нелинейностей формулировка которой приведена в статье. В то время как использование аналитического метода, решение которого также приведено в статье, дает совершенно правильный результат. Назаров Д.И. заявляет, что ни одна коммерческая FEA-система неспособна получить правильный результат и в качестве аргументов предъявляет командный файл системы ANSYS, в котором моделируется аналогичная задача. Очевидно, автор не смог или не счел нужным самостоятельно провести этот наипростейший анализ, так как по его словам этот log-файл был взят у фирмы-распространителя CADFEM-Russia (Москва). Назарову Д.И. не хватило знаний в самой системе ANSYS для того чтобы хотя бы проверить чужое решение. И после этого автор выдвигает мысль, что не проблема конкретной программной реализации FEA-системы, а всей теории метода конечных элементов в целом. Что, по его словам, она в принципе не предназначена для расчетов нелинейных задач и может лишь только с малой вероятностью получить правильный результат для конкретных случаев. Каково! Мною была сделана, предложенная им попытка решить эту задачу. Для этого я использовал систему ANSYS 5.5.3\High University (лицензионная версия). Полученные результаты (см. Рис. 1, различные цвета обозначают разные материалы) ставят под сомнение взгляды Назарова Д.И.. Они совпадают с аналитическими результатами полученными им (так называемое "правильное" правое положение). Ошибка Назарова Д.И. заключается в том, что он не умеет работать с системой конечно-элементного анализа ANSYS. Использование результатов работы инженеров фирмы CADFEM, которые сами допустили ошибку, привела Назарова Д.И. к выводам достойным нашей улыбки. Если изучить представленный в статье Назарова Д.И. log-файл системы ANSYS, то можно увидеть, что в нем решается другая задача. А именно используется один материал с жесткость 1000, в то время как в статье описывается задача с использованием 2-х материалов. Эта ситуация показывает досадную неточность в работе инженеров фирмы CADFEM, но абсолютно не ставит под сомнение качество работы мощных систем FEA как ANSYS, LS-DYNA 3D и другие. И действительно если в постановке задачи используется один материал с жесткостью 1000, то ее решение и будет представлять "неправильное" левое положение стержня, на которое и ссылается Назаров Д.И.

Геометрия до деформации (пунктирная линия) и после деформации.

Рис. 1. Геометрия до деформации (пунктирная линия) и после деформации.

Обратим теперь свое внимание на вторую работу Назарова Д.И. "РУССКАЯ РУЛЕТКА". В ней автор уже пытается дискредитировать теоретические основы решения нелинейных задач метода конечных элементов с помощью процедуры Ньютона-Рафсона. В начале статьи Назаров высказывает ничем не обоснованную мысль о том, что FEA программы решают только квазилинейные задачи, а не нелинейные. Это происходит по его словам, путем так называемого "преобразования шкалы осей". Хотелось бы отослать автора к истокам метода конечных элементов, а именно создание конечного элемента (матрицы жесткости и матрицы масс) на основе аппроксимаций, получение главной системы уравнений на основе минимума потенциальной энергии системы и их записи в матричной форме. Статья Назарова Д.И. дает понять, что автор имеет лишь отрывистые знания в этой области (Это вполне объяснимо, так как Назаров Д.И. является кандидатом технических наук, но никак не математических). Переходя далее к его описанию процедуры Ньютона-Рафсона, сразу следует отметить, что автор не понял ее сущности. И тем самым сразу дает неправильное истолкование, на ошибки которого сам потом и ссылается. Отметим лишь следующее, Назаров Д.И. неправильно толкует матричное уравнение:

Ki|*{Dui}={Fa}-{Fri}

{Dui} является приращением для итерационной точки ui+1 , т.е.

ui+1 = ui + {Dui}

а не так как представлено на Рис. 6 в его статье. Правильная графическая интерпретация процедуры Ньютона-Рафсона представлена на Рис. 2. После чего автор выдает свои ошибки как ошибки заложенные в самой процедуре Ньютона-Рафсона.

Процедура Ньютона-Рафсона

Рис. 2 Процедура Ньютона-Рафсона

Может это покажется для Назарова Д.И. неожиданностью, но в методе конечных элементов аппроксимация величин ведется с помощью кусочно-полиномиальных функций (они строятся на основе сплайнов 1-й степени или функций Куранта или так называемых функции "крышки"), для которых тем не менее доказаны теоремы о сходимости как самих этих функций, так и их производных. Однако производная кусочно-полиномиальной функции является разрывной функции! Так что ни о какой "необходимой" гладкости для математической постановки метода конечных элементов говорить не приходится. В качестве иллюстрации возможности решения задач механики с учетом геометрически нелинейного поведения в системе ANSYS, приведем результаты решения подобной задачи. Рассмотрим простейшую статическую задачу о деформации двух стержней (см. Рис. 3). Стержни одинаковой длины выполнены из разных материалов с жесткостью в 1000 для верхнего стержня и 2500 для нижнего стержня. В точке соприкосновения двух стержней приложена горизонтальная сила размером 100.

Конструкция из двух элементов
Рис. 3 Конструкция из двух элементов

Полученный результат на Рис. 4 показывает, что система испытала так называемый "скачок", который подробно описал в своей статье Назаров Д.И. Для того чтобы получить зависимость F=F(u), заменим горизонтальную силу на горизонтальное перемещение в 7 единиц. И проведем динамический нелинейный анализ этого процесса прощелкивания стержней из 20 подшагов. В качестве ответа на это граничное условие (перемещение) будет реакция, которая в свою очередь будет зависеть от перемещений среднего узла (см. Рис.5). Можно заметить что это система с одной степенью свободы и как нельзя лучше описывает классическую ситуацию со скачком представленную в статье Назарова Д.И. (см. в статье Рис.7 График геометрически нелинейного поведения конструкции). Стоит отметить, что решения статической и динамической задачи были проведены с помощью процедуры решения Ньютона-Рафсона с учетом больших деформаций.

Деформация стержней под воздействием силы в 100 единиц
Рис. 4 Деформация стержней под воздействием силы в 100 единиц

В заключение можно сказать, что метод конечных элементов, конечно, является приближенным численным методом, и тем самым имеет некоторую степень погрешности. Однако, в нем заложено большое количество параметром с помощью которых можно управлять степенью точности получаемых результатов (измельченность сетки, параметры нагружения и методов получения решения). Отдельным вопросом является степень адекватности решаемой математической модели ее физическому прототипу. Все это возлагается на плечи инженера-расчетчика, ответственность за результат несет только он. Но следует сказать, что МКЭ позволяет исследовать конструкции почти неограниченной степени сложности. В то время как это объективно невозможно с использованием аналитических методов.

Зависимость реакции в точке соединения стержней от времени моделирования
Рис. 5 Зависимость реакции в точке соединения стержней от времени моделирования

Самому к.т.н. Назарову Д.И. я посоветовал в будущем проверять основы своих предположений и более подробно изучить раздел Verification Manual системы ANSYS. Там подробно изложены более 200 задач охватывающих практически все области применения конечно-элементного анализа и сравнение полученных результатов с аналитическими данными полученными раннее. И это все с указанием использованных источников аналитических результатов. Так что должен отметить, что компания ANSYS Inc., тратит деньги не только на рекламу, но и на проверку своего программного комплекса! Компания ANSYS Inc. первая из фирм своего класса получила сертификат качества ISO 9001, декларирующий степень надежности ее продукции.

Торопцев А.В., г. Ульяновск (Email: toroptsev@inbox.ru )



Copyright © Сайт поддержки пользователей САПР by Victor Tkachenko