Логотип сайта поддержки пользователей САПРО сайте поддержки пользователей САПР Translate to:

СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНОГО КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНОГО АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЙ

канд. техн. наук Назаров Дмитрий Иванович,
Кузбасский государственный технический университет

Значительный научный прогресс метода конечных элементов (далее МКЭ) в нелинейном анализе с эффективным использованием в современном программном обеспечении (ANSYS, Algor, MSC/NASTRAN, UAI/NASTRAN, MARC и т.д.) создал общее впечатление о грандиозных возможностях и почти абсолютной достоверности результатов вычислений. Достаточно часто можно встретить мнение, что расхождение натурных и/или лабораторных испытаний с результатами, полученными на программах конечно-элементного анализа (далее FEA) объясняется в большей степени ошибками эксперимента, т.е. неточность датчиков, размеров и т.д. Другое общее мнение, что аналитический анализ конструкций - "дедушкин" способ и представлен только академическим интересом, а для практических результатов важнее хорошо владеть FEA. Но так ли это? Проверим!

Рассмотрим простой пример (см. рис.1), который можно рекомендовать сторонникам FEA обязательно проверить на своих "сверхнадежных" программах.

Основа примера - простейший элемент для FEA, а именно стержень (в ANSYS - LINK1, в NASTRAN - Rod, в Algor - Truss). Материал линейно упругий (подчиняется закону Гука), т.е. Dl=NЧl/EA, где Dl - удлинение стержня, N - продольная сила (усилие) в стержне, l- длина стержня, EA - продольная жесткость стержня. Вся конструкция - два элемента, три узла, четыре внешних связи, две степени свободы! Можно предположить, что проще конструкций не бывает (а один элемент это не конструкция)! Относительно очевидной "простоты" задачи замечательно высказался профессор строительного факультета Нотердамского университета (США) доктор Дэвид Ж. Киркнер: "Я был-бы удивлен, если-бы эта простая задача не могла-бы быть решена правильно в ANSYS" (в оригинале: "I would be flabbergasted if this simple problem wasn't able to be solved correctly by ANSYS").

Схема конструкции
Рис. 1. Схема конструкции

Принципиально правильная форма деформации этой конструкции представлена на Рис. 2., т.е. правый элемент конструкции оказывается повернутым вправо, а левый повернутым вниз.

Проверяя конструкцию на FEA можно использовать любой порядок нумерации элементов и узлов. Исходные данные:
Деформированная схема конструкции
Рис. 2. Деформированная схема конструкции

Для проверки справедливости представленных результатов (Рис. 2.) проведем аналитический анализ конструкции.

Расчетная схема левого элемента
Рис. 3. Расчетная схема левого элемента

Вначале убедимся, что левый элемент переворачивается вниз. При неподвижном нижнем узле этот элемент представляет упрощенную ферму Мизеса (см. Рис. 3), хорошо известную и неоднократно описанную в механике деформированного твердого тела. В случае стержня с продольной жесткостью EA, проекциями x и y, длинной l и неподвижной правой опорой зависимость вертикальной силы (Py) от вертикального перемещения (Dy) описывается уравнением:

(1)

из которого можно как аналитически, так и графически (см. Рис. 4) определить, что для вертикальной силы Py=95 , x=10, y=10, EA=1000 равновесное состояние возможно только при повороте элемента вниз.

График зависимости вертикальной силы от перемещения левого узла левого элемента конструкции
Рис. 5. Расчетная схема конструкции к определению
взаимодействия левого и правого элементов

Максимальное значение вертикальной силы до поворота элемента (локальный максимум) 93,7. Обратим внимание, что с податливой правой опорой критическая вертикальная сила уменьшается, т.е. в нашем случае левый элемент обязательно повернется вниз при силе даже меньшей чем заданная 95. Аналогичный анализ, проведенный для правого стержня, показывает, что критическая горизонтальная сила (Pxcr) равна 187,4, а соответствующее горизонтальное смещение (Dxcr) равно 0,98.

Расчетная схема конструкции к определению взаимодействия левого и правого элементов
Рис. 4. График зависимости вертикальной силы
от перемещения левого узла левого элемента конструкции

Определим, при каком смещении левого узла (см. Рис.5) достигается критическая горизонтальная сила для правого элемента, т.е. положение перед перескоком вправо.

Геометрически длина правого элемента определяется как:

(2)

где Dx - горизонтальное смещение среднего узла (в нашем случае Dx=Dxcr=0,98), Dy - искомое вертикальное смещение левого узла, в то же время длина левого элемента физически выражается как:

(3)

где N - продольная сила в левом элементе определяемая как:

(4)

где Rx - горизонтальная реакция от правого элемента (в нашем случае Rx=Pxcr=187,4).

Решая совместно уравнения 2, 3 и 4 определяем Dy =6,964, т.е. при вертикальной проекции левого элемента равной y-Dy=10-6,964=3,036 происходит перескок правого элемента вправо.

Определим длину правого элемента в промежуточном (горизонтальном) положении, используя уравнение 3, при продольной силе выражаемой как:

(5)

где EAr - продольная жесткость правого элемента, xr, yr, lr - соответственно горизонтальная проекция, вертикальная проекция и длина правого элемента до деформации, x'=l' - горизонтальная проекция (длина) левого элемента в рассматриваемом положении.

При наших исходных данных l'=14,024, т.е. правый элемент растянут, левый сжат.

Определение критической силы для правого положения правого элемента
Рис. 6. Определение критической силы для правого положения правого элемента

Итак, мы убедились в обязательном повороте, как правого, так и левого элементов, осталось проверить, а удержится правый элемент в правом положении? Для этого определим, при какой вертикальной силе приложенной к левому элементу достигается критическое положение (горизонтальная критическая сила) для правого элемента.

Определяя вертикальную силу, найдем Dy из уравнений 2, 3 и 4 при исходных данных: (x+Dx)= x+xr+xr-Dxcr=10+2+2-0.98=13.02 - горизонтальная проекция левого элемента (см. Рис.6), Rx=Pxcr=-187.4 - критическая горизонтальная сила для правого элемента, Dy=22,074, соответствующую вертикальную силу найдем из статического равновесия левого элемента определяемого уравнением (после преобразования):

(6)

где y-Dy=10-22,074=-12,074 - вертикальная проекция левого элемента, Py=173.8

Да, действительно необходимо признать, что в данной конструкции правильное деформированное состояние - правый элемент повернут вправо! Однако все FEA программы выдадут Вам "левый" результат! Отметим, что это проблема не конкретной FEA реализации, а теории в целом. Имея подобные "просчеты" для простейших конструкций и элементов, говорить о правильности расчетов более сложных конструкций и правомерности использования элементов с интерполируемыми параметрами (пластины, оболочки, кубики, контактные связи и поверхности) даже и не приходится! Если существующие FEA программы (и теория МКЭ) не способны решить столь простые задачи хотя бы приблизительно правильно, то, что эти программы получают в результате, например, контактного анализа? Об этом можно только догадываться!

Для более полной оценки проблем существующей теории нелинейного МКЭ желательно проверить и представленные в табл. N1 задачи.

Таблица N1
Схема задачи Комментарии
Узел с неподвижной опорой после деформирования конструкции должен оказаться правее узла с силой. Для проверки в FEA достаточно поменять местами горизонтальные проекции элементов и помнить, что Rx=P (т.е. реакция правой опоры равна приложенной силе).
Очевидно, что верхние два элемента вытянутся в линию, а узел приложения силы получит (кроме вертикального) горизонтальное смещение вправо. Для проверки достаточно убедится, что верхние два элемента обязательно окажутся растянутыми, и соответственно потянут узел вправо.
Узел приложения силы не перескакивает ниже растягиваемого элемента. Для проверки достаточно проанализировать поведение конструкции после вытягивания в линию нижних элементов.

Предложенный ряд задач основан на тщательном анализе основных ошибок в теории нелинейного МКЭ. Тестовые задачи сформулированы таким образом, что сторонникам "неточности эксперимента" невозможно будет аргументировать столь существенные ошибки FEA. Значительные перемещения (не путать с "large deflection/большие деформации") характерные для представленных задач только "лакмусовая бумажка". После внимательного анализа представленных задач несложно сформулировать сотни других, в которых перемещения будут сколь угодно "малыми", вплоть до точности представления чисел компьютером.

Следует отметить, что в FEA программах существует некоторая малая вероятность случайного попадания в правильный результат. Однако управлять этим процессом, а тем более угадывать, какой из полученных FEA программой результатов правильный, не представляется возможным, особенно теми "специалистами" конечно-элементного анализа, которые успешно забыли теорию механики деформированного твердого тела и тем более теорию МКЭ. В большинстве случаев эти "специалисты" даже не представляют, что они должны получить в результате расчетов, а получив, не способны оценить, правильны эти результаты или нет. Как комментарий, приведем пример входного файла для ANSYS, который был предоставлен фирмой CADFEM-Russia (Москва), с целью (неудачно) доказать необоснованность претензий к их продукции:

	!Example Log-file 
	/PREP7  
	ET,1,LINK1  
	R,1,0.01, , ! a=0.01
	UIMP,1,EX, , ,1e5, ! Ea=1000
	UIMP,2,EX, , ,2.5e5, ! Ea=2500
	n,1 ,,,, ! create nodes n1(0,0,0)
	n,2 ,-2,2,, !n2(-2,2,0) 
	n,3 ,-12,12,,!n ...
	n,4 ,-12,,,  
	e,2,3,4 !create 1 link
	mat,2
	e,1,2,4 !create 2 link 
	/SOLU   
	FLST,2,1,1,ORDE,1   
	FITEM,2,3   
	D,1, , , , , ,ALL, , , , , ! constrained nodes   
	D,2, , , , , ,UY, , , , ,
	D,3, , , , , ,UX, , , , ,
	F,3,FY,-95  ! applied force   
	NLGEOM,1 !effects large deformation - on
	TIME,1  
	AUTOTS,1 !automatic step - on
	NSUBST,5,0.2,0.0001,1 !maxstep=0.2, minstep=0.0001
	KBC,0  !loads is applied linear
	SOLVE ! Run Solver
	! enter to Postprocessor

Очевидным достоинством этого примера является то, что в результате расчета мы действительно получаем правый элемент повернутым вправо! Однако, господа "эксперты" не удосужились (или не смогли) перепроверить этот пример аналитически, а сделав это, они обнаружили бы, что при жесткости правого элемента равной 2500 правильный результат - правый элемент повернут влево! В очередной раз мы убеждаемся, что аналитическое решение имеет принципиально большее преимущество перед FEA, а существующие FEA программы не способны правильно решать геометрически нелинейные задачи.

Выкладывая огромные суммы на покупку современных FEA программ, пользователь в праве надеяться, что получает качественный продукт. Однако, как мы уже убедились, гадание на кофейной гуще может дать даже более правильный результат. Сегодня обоснованно можно утверждать, что на данном этапе развития МКЭ не наблюдается особой разницы между бесплатными (shreeware или freeware) FEA программами и очень дорогими (ANSYS, Algor, MSC/NASTRAN, UAI/NASTRAN, Marc, Cosmos/M, и т.д.). Несложный анализ рынка FEA программ позволит заметить, что большей частью средства этих компаний расходуются на рекламу, продвижение продукта, а только незначительная часть именно на развитие и совершенствование расчетных блоков FEA. Сегодня несколько десятков freeware FEA программ легко доступны через Internet. Найти WEB страницы freeware FEA программ можно используя поисковые машины (http://www.yahoo.com, http://www.altavista.com, http://lycos.com), или списки FEA программ (http://www.cprsys1.demon.co.uk/, http://www.vtt.fi/rte7/femsivut.htm). С точки зрения качества вычислений freeware FEA программы (бесплатные и легко доступные через Internet) ни в чем не уступают знаменитым FEA программам, необоснованная реклама которых ориентирована на создание иллюзии сверхмощности и сверхнадежности. В тоже время необходимо признать, что аналитический анализ конструкций актуален и имеет значительные преимущества перед FEA не только для теоретических исследований, но и для практического применения.



Copyright © Сайт поддержки пользователей САПР by Victor Tkachenko