Логотип сайта поддержки пользователей САПРО сайте поддержки пользователей САПР Translate to:

О ЧИСЛЕННОМ РЕШЕНИИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ СТАТИКИ УПРУГИХ КОНСТРУКЦИЙ

Левяков С.В. (Новосибирск)
Email: stle@online.sinor.ru

Целью настоящего сообщения является обсуждение особенностей численного решения геометрически нелинейных задач на примере тестов, предложенных в [1]. По существу рассматриваются конечно-элементные уравнения, решение которых находится в аналитической форме, без использования итерационных процедур решения нелинейных алгебраических уравнений. Проводится анализ устойчивости деформированных конфигураций конструкций. Полученные результаты могут быть использованы при тестировании численных алгоритмов решения геометрически нелинейных задач.

В настоящее время метод конечных элементов (МКЭ) является наиболее эффективным численным методом решения прикладных задач. Наглядность метода, а также возможность строить решения в тех случаях, когда применение аналитических методов в силу объективных причин невозможно, сделала его популярным среди широкого круга специалистов. Однако МКЭ остается лишь средством анализа и поэтому правильная интерпретация, полнота и точность получаемых конечно-элементных решений зависит от квалификации и опыта исследователя, его желания разобраться в проблеме.

Линейные задачи упругого деформирования обычно формулируются следующим образом: определить напряженно-деформированное состояние конструкции, соответствующее заданному уровню нагрузок. При решении геометрически нелинейных задач следует исходить из более общей формулировки, которая состоит в детальном исследовании кривой деформирования конструкции в разумном диапазоне изменения внешних сил. Это связано прежде всего с возможной неоднозначностью решения, когда одному уровню внешних нагрузок могут отвечать различные конфигурации деформированной конструкции.

В общем случае нелинейное решение содержит особые точки, которые необходимо обнаруживать и классифицировать. В случае бифуркационной точки требуется определить ее кратность и построить ответвляющиеся решения, которые в свою очередь могут содержать особые точки и новые ветви равновесных состояний. Таким образом, в зависимости от конкретной задачи "дерево" нелинейных решений может быть весьма сложным. Кроме того, возможно существование изолированных решений, к которым нельзя прийти при непрерывном движении вдоль кривой равновесных состояний.

Поскольку в геометрически нелинейных задачах одному уровню нагрузки могут отвечать несколько положений равновесия, то важно выяснить, какие из них реализуются в действительности, т.е. необходимо провести анализ устойчивости найденных форм равновесия.

При построении решения нелинейных уравнений эффективным является пошаговый метод продолжения по длине дуги кривой деформирования (arc-length control method) в сочетании с итерационным уточнением решения по методу Ньютона. Известно, что при использовании метода Ньютона важное значение имеет выбор начального приближения. Поэтому шаг продолжения предполагается малым, т.е. решение разыскивается в окрестности состояния, найденного на предыдущем шаге. Однако в тех случаях, когда ветви равновесных состояний находятся близко друг от друга и шаг продолжения задан не достаточно малым, возможны "перескоки" с одной ветви на другую. По-видимому, с этим эффектом столкнулся автор [1], что привело его к шокирующему выводу об МКЭ, как о некоем генераторе случайных решений.

Рассмотрим задачу о больших перемещениях системы, показанной на рис. 1. Исходные данные: EA1=1000 Н, EA2=2000 Н, a1=10 м, a2=2 м, P=95 Н. Обозначим степени свободы (обобщенные координаты) системы через u1, u2.

Запишем полную потенциальную энергию системы где - длины стержней; - деформации стержней, вычисляемые по формулам

Условие равенства нулю первой вариации энергии дает уравнения равновесия, которые могут быть приведены к виду

Полученные соотношения полностью определяют решение рассматриваемой задачи. Заметим, что перемещение u1 может принимать значения в диапазоне от - a1 до a1(V2-1). Задавая значения u1 из указанного диапазона, по формуле (3) находим значения u2, а затем вычисляем соответствующие значения силы по формуле (4). Найденное решение как серия равновесных состояний представляется некоторой кривой в пространстве трех переменных u1, u2 и P. На рис. 2 показана проекция полученной кривой на плоскость u2, P. Из рисунка видно, что нагрузке P=95 Н отвечают три состояния равновесия конструкции, отмеченные цифрами 1, 2 и 3. Состояние 1 соответствует "правому" положению короткого элемента конструкции, а состояние 3-"левому" положению. Значения перемещений, отвечающих нагрузке P=95 Н, приведены в таблице.

Непонятно, какими критериями пользуется автор [1], делая заключения о правильности той или иной конфигурации системы, и что понимается под терминами "принципиально правильное" (или "неправильное") положение. Если найденное положение системы отвечает условиям равновесия, значит оно "правильное". "Неправильное" положение системы может иметь место лишь при расходимости итерационного процесса решения системы нелинейных уравнений, т.е. в том случае, когда не удается удовлетворить условия равновесия. Если метод Ньютона показывает сходимость решения, то найденная конфигурация конструкции удовлетворяет сформулированным условиям равновесия и, следовательно, может быть реализована.


Рис. 2. Диаграмма деформирования

Для ответа на вопрос, устойчивы ли найденные состояния равновесия, необходимо исследовать знак второй вариации полной потенциальной энергии системы, имеющей вид (используется правило суммирования по повторяющимся индексам)

Здесь индексы после запятой означают дифференцирование по обобщенным координатам. Явные выражения для коэффициентов второй вариации энергии здесь не приводятся ввиду их громоздкости. Если квадратичная форма (5) положительно определена, то соответствующее состояние равновесия является устойчивым. Данное условие выполняется, если все угловые миноры матрицы определены положительно:

Если хотя бы одно из условий (6), (7) нарушается, то квадратичная форма не положительно определена и соответствующее состояние равновесия неустойчиво. Обращение в ноль величины D2 (определителя матрицы ) свидетельствует о прохождении особой точки. На рис. 4 показаны зависимости величин от перемещения u1. Из рисунка видно, что существуют две области устойчивого равновесия при повороте короткого стержня от исходного до крайнего правого положения.


Рис. 4. Зависимость угловых миноров от перемещения

Для определения типа особой точки необходимо сравнить ранги матрицы и расширенной матрицы

Если ранги матриц равны, то соответствующая особая точка является бифуркационной, в противном случае особая точка является предельной.

Анализ полученного решения (3), (4) показал, что решение содержит 10 предельных точек L1,…,L10, причем участки L1-L2-L3-L4, L5-L6 и L7-L8-L9-L10, изображенные пунктирными линиями, отвечают неустойчивым состояниям равновесия конструкции. В частности, состояния 1 и 3 устойчивы, а состояние 2 неустойчиво. Стрелками на рис. 3 показаны перескоки от одного устойчивого состояния системы к другому при изменении величины нагрузки.

В качестве следующего примера рассмотрим задачу о нагружении конструкции, состоящей из пяти упругих элементов [1] (рис. 5). Исходные данные: EA1=106 Н, EA2=103 Н, P=300 Н. Рассматриваемая конструкция имеет три степени свободы, обозначенные через u1, u2, u3. Данная задача интересна тем, что ее решение помимо предельных точек содержит точки бифуркации (в этом можно убедиться, проводя качественный анализ возможных форм равновесия).

Как и в первом примере, наличие малого числа степеней свободы позволяет записать аналитическое решение и построить все ветви равновесных состояний конструкции. На рис. 6, 7 схематически представлены диаграммы деформирования, где сплошные и пунктирные линии относятся соответственно к устойчивым и неустойчивым состояниям равновесия. Решение содержит шесть предельных точек L1,…,L6 и две точки бифуркации B1, B2. Ветви L1-B1-L2 и L3-B2-L4 описывают деформирование конструкции, при котором два нижних стержня не испытывают деформации, т.е. перемещаются как абсолютно жесткие тела. Замкнутая ветвь B1-L5-B2-L6 относится к случаю, когда два нижних стержня лежат на одной прямой со средним стержнем.

До момента достижения значения P=300 Н происходит перескок с ветви "мягкого" деформирования, когда изменение конфигурации конструкции происходит в основном за счет растяжения горизонтального стержня, на ветвь "жесткого" деформирования, когда в работу конструкции включаются два нижних стержня. Значению силы P=300 Н отвечают 4 формы равновесия, которые приближенно изображены на рис. 8.

Рассмотренные примеры показывают, что реакцию той или иной конструкции под действием заданной нагрузки можно понять, имея перед собой полную картину ее нелинейного деформирования. При решении геометрически нелинейных задач необходимо строить полное решение при непрерывном изменении параметра нагрузки, что позволит избежать недоразумений подобных тем, которые вызвали дискуссию на данную тему (см. [2]).

Упрощенные расчетные схемы, которые допускают аналитические решения, не всегда отражают многообразие форм равновесия деформируемого тела. При анализе систем с большим числом степеней свободы и сложными нелинейными связями решение удается получить лишь с использованием численных методов. Метод конечных элементов в сочетании с гибкими алгоритмами продолжения решения является мощным средством анализа сложных нелинейных систем. Например, именно с использованием МКЭ была обнаружена возможность вторичной потери устойчивости при исследовании закритического деформирования стержней с шарнирно закрепленными и заделанными концами [3, 4, 5] (рис. 9).

Полученные численные результаты согласуются с аналитическим решением [6]. Данные задачи могут быть предложены для тестирования численных алгоритмов.

Трудно, если вообще возможно, разработать универсальный численный алгоритм, который бы предусматривал все многообразие решений нелинейных проблем. По-видимому, известные конечно-элементные комплексы общего назначения, такие как ALGOR, ANSYS, NASTRAN и многие другие не являются исключением. Каждый программный продукт создается с определенной целью и имеет пусть и весьма широкую, но все же ограниченную область применения. Естественно, существует круг задач, которые не могут быть решены с использованием данных программ, что нельзя расценивать как их недостаток. В этом случае следует обратиться к специализированным разработкам.

ЛИТЕРАТУРА

  1. Д. И. Назаров "Современное состояние геометрически нелинейного конечно-элементного анализа",
  2. Дискуссия по анализу программных продуктов САЕ, использующих метод конечных элементов,
  3. С. Н. Коробейников, Вторичная потеря устойчивости сжатого шарнино опертого стержня, Тез. Докл. IV Междунар. Конф. "Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике". Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО РАН, 1995. С. 104.
  4. В. В. Кузнецов, С. В. Левяков, О вторичной потере устойчивости эйлерова стержня, Прикл. Мех. Техн. Физ., Т. 40, №6, 184-185 (1999).
  5. В. В. Кузнецов, С. В. Левяков, Эластика эйлерова стержня с защемленными концами, Прикл. Мех. Техн. Физ., Т. 41, №3, 184-186 (2000).
  6. V. V. Kuznetsov, S. V. Levyakov, Complete solution of the stability problem for elastica of Euler's column, Int. J. Non-Linear Mechanics, 37, No. 6, 1003-1009 (2002).



Copyright © Сайт поддержки пользователей САПР by Victor Tkachenko