Логотип сайта поддержки пользователей САПРО сайте поддержки пользователей САПР Translate to:

Мои расчеты по материалам статьи Д. И. Назарова "СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНОГО КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНОГО АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЙ"

Матвеев Алексей, канд. техн. наук,
mav@tkm-most.ru, www.mav.tkm-most.ru)

В интернете случайно нашел статью "СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНОГО КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНОГО АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЙ", очень заинтересовался и решил просчитать предлагаемые вами примеры по своей программе MAV.Structure. Если вы скачаете программу (www.mav.tkm-most.ru), то сможете сами их просчитать.

Рассмотрим первую из задач:
Схема конструкции

Для левого стержня условия равновесия - N1*sin(Alfa1)=P то есть проекция нормальной силы в стержне равна приложенной силе P=95.

N1=EA1*(L1'-L1)/L1 L1=10*sqrt(2) L1'=sqrt((10+dx)^2+(10+dy)^2) EA1=1000 dx - перемещение среднего узла вправо (в Maple записываем просто x) dy - перемещение левого узла вверх (в Maple записываем просто y) sin(Alfa1)= (10+dy)/L1'

после преобразований получим уравнение равновесия и введем его в Maple 6 (см Math.mws):

> aaa:=(1/10/sqrt(2)-1/(sqrt((10+x)^2+(10+y)^2)))*(10+x)-95/1000=0;

Решаем систему уравнений относительно y и строим график y=f(x)

> bbb:=solve(aaa,y);



> plot([bbb],x=-8..10,-40..40);

Уравнения равновесия для левого стержня:

Горизонтальная реакция в левом стержне должна быть равна горизонтальной реакции в правом стержне

N1*cos(Alfa1)=N2*cos(Alfa2) cos(Alfa1)= (10+dx)/L1' L2=2*sqrt(2) L2'=sqrt(2^2+(dx-2)^2) cos(Alfa2)= (dx-2)/L2' N2=EA2*(L2'-L2)/L2 EA2=2000

после преобразований получим уравнение равновесия и введем его в Maple 6:

> ccc:=(1/2/sqrt(2)-1/sqrt(4+(2-x)^2))*(2-x)*2000=(1/10/sqrt(2)-1/(sqrt((10+x)^2+(10+y)^2)))*(10+x)*1000;

Решаем опять относительно y:

> ddd:=solve(ccc,y);







> plot([ddd],x=-8..10,-40..40);

dx из первого уравнения должно быть равно dx из второго уравнения. Совмещаем оба графика в одном и соответственно в точках пересечения оба dx будут равны, то есть будет равновесие!

Вверх отложены значения перемещения по оси y левого узла, влево отложены значения перемещений по x среднего узла. Графики получены из решения уравнений равновесия для правого и левого стержня и наложены друг на друга. Точки пересечения означают решения системы уравнений, то есть равновесные состояния.

Как видно из графика, данная система имеет 10 форм равновесия! Правда некоторые из этих форм равновесия устойчивые, а некоторые нет. То есть, если система займет положение неустойчивого равновесия, то она не сможет самостоятельно удержаться и "перескочит" на какую-то из устойчивых форм равновесия.

Теперь проанализируем:

Левое положение правого стержня соответствует точке dy= -22.457432 и dx= -0.197512 (см график), по программе MAV.Structure его можно получить, задав displimit=10 (см. файл Задача1.prg):

Левая форма равновесия устойчивая, так как касательная матрица жесткости для этой системы положительно определенная!

А правых положений вообще два!!!

Первое: dy= -19.442186, dx=3.516869 (см график), по программе MAV.Structure его можно получить, задав displimit=11:

Данная форма равновесия устойчивая, так как касательная матрица жесткости для этой системы положительно определенная!

Второе: dy= -20.451286, dx= 2.414797 (см график) , по программе MAV.Structure его можно получить, задав displimit=15:

Данная форма равновесия неустойчивая, так как касательная матрица жесткости для этой системы имеет отрицательный определитель! То есть система в таком состояниии равновесия самостоятельно не удержится и "перескочит" в состояние dy= -20.451286, dx= 2.414797!

Остальные положения равновесия в принципе можно получить с использованием команд Calculate ContinueIteration, я это не стал делать.

Теперь вопрос: какие из всех этих форм равновесия вы считаете истинными, а какие нет?

Теоретически все они истинные и все зависит от того, какая из них вас конкретно интересует!

В принципе, та форма равновесия, где правый стержень повернут влево вполне реальна! Такая форма равновесия может быть реализована на самом деле, другое дело, что если приложить силу и проследить за поведением системы в динамике, то после затухания колебаний будет реализована, скорее всего, какая-то из "правых" форм равновесия!

Такие задачи бессмысленно решать статическим способом. Их надо решать в динамике, с учетом масс и сил инерции. При динамическом расчете определитель матрицы жесткости никогда не будет равен 0 (будут добавлены реакции от сил инерции) поэтому решение можно будет получить для любой системы. И в зависимости от того как поведет себя система в конце концов она придет к одной из форм равновесия. Все формы равновесия этой системы ПРАВИЛЬНЫЕ!!! Все зависит от того, что вам нужно получить!

Не очень понял из статьи "СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНОГО КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНОГО АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЙ" почему было решено, что левое положение правого стержня "неправильное"!?



Copyright © Сайт поддержки пользователей САПР by Victor Tkachenko